Полином Лагранжа

Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для пар чисел , где все различны, существует единственный многочлен степени не более , для которого .

В простейшем случае () — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

Содержание

1 Определение
2 Применения
- 2.1 Случай равномерного распределения узлов интерполяции
3 См. также
4 Внешние ссылки

Определение

Этот пример показывает интерполяционный многочлен Лагранжа для четырёх точек (-9,5), (-4,2), (-1,-2) и (7,9), а также полиномы y_i l_i(x), каждый из которых проходит через одну из выделенных точек, и принимает нулевое значение в остальных x_j

Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:

где базисные полиномы определяются по формуле:

обладают следующими свойствами:

являются многочленами степени
при

Отсюда следует, что , как линейная комбинация , может иметь степень не больше , и , Q.E.D.

Применения

Полиномы Лагранжа используются для интерполяции, а также для численного интегрирования.

Пусть для функции известны значения в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как

В частности,

Значения интегралов от не зависят от , и их можно вычислить заранее, зная последовательность .

Случай равномерного распределения узлов интерполяции

В случае равномерного распределения узлов интерполяции выражаются через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку :

и, следовательно,

Подставив эти выражения в формулу базисного полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим

$l_j(x) = { \prod_{i=0,\,i \ne j}^n {(x - x_i) \over (x_j - x_i)}} = {\prod\limits_{i=0,\,i \ne j}^n (x - x_0 - ih) \over h^{n-1} \prod\limits_{i=0,\,i \ne j}^n (j - i)}$

Теперь можно ввести замену переменной

и получить полином от , который строится с использованием только целочисленной арифметики. Недостатком данного подхода является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует использования длинной арифметики.

См. также

Имеется викиучебник по теме
«Реализация интерполяционного многочлена Лагранжа на разных языках программирования»

Внешние ссылки

М.А. Тынкевич Глава 7.6.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа // Численные методы анализа. — Кемерово, 2002. — ISBN 5-89070-042-1
А.Г. Хованский. Полиномы Лагранжа и их применения. Видео-лекция. VI Летняя школа "Современная математика", Дубна, 2006.

Snowimage-e.ru

Зимняя одежда

Темы