Теорема наполеона доказательство через косинус, треугольники наполеона теорема и доказательство теоремы

Теорема Наполеона — утверждение евклидовой планиметрии о равносторонних треугольниках:

Если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников — тоже равносторонний

Треугольники могут быть построены вовнутрь (все) — утверждение сохранит силу.

Получаемый таким образом треугольник называют треугольником Наполеона (внутренним и внешним).

Теорема часто приписывается [1]

Доказательства

Данная теорема может быть доказана несколькими способами. Один из них использует поворот и теорему Шаля (3 последовательных поворота возвращают плоскость на место). Похожий способ использует поворотную гомотетию (при применении 2 гомотетий с равными коэффициентами MN и LN переходят в один отрезок CZ). Другие способы более прямолинейны, но и более громоздки.

Связь с другими утверждениями

Обобщение — [2]

Теорема Наполеона обобщается на случай произвольных треугольников следующим образом:

Если подобные треугольники любой формы построены на сторонах треугольника внешним образом так, что каждый повёрнут относительно предыдущего, и любые три соответствующие точки этих треугольников соединены, то итоговый треугольник будет подобен этим внешним треугольникам.

Аналогом теоремы Наполеона для параллелограммов является первая теорема Тебо.

См. также

Ссылки

Теорема Наполеона в анимации.
Weisstein, Eric W. Теорема Наполеона (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Теорема наполеона доказательство через косинус, треугольники наполеона теорема и доказательство теоремы.

Snowimage-e.ru

Зимняя одежда